Узор геометрия: Геометрические узоры | Бесплатно векторы

Другими словами, учитывая верхнюю оценку функции F с натуральными значениями с помощью линейной функции L , мы можем сделать вывод, что F является линейным на большой подобласти при условии, что F является гармоническим или почти гармоническим.Точные формулировки можно найти у Калинина и Школьникова [34]. Две основные идеи, использованные в доказательствах, заключаются в следующем.

• Функция зеленого цвета (гармоническая во всех точках, кроме одной) на плоскости растет как логарифм.

• Для положительной дискретной гармонической функции F на шаре радиуса R с центром O , дискретная производная F на O (т. Е. F ( O ) — F ( O ′) для соседа O ′ из O ) составляет не более F на шаре, деленное на R .Если F имеет только целые значения, то | F ( O ) — F ( O ′) | <1 означает, что F ( O ) = F ( O ′).

Мы предполагаем, что линейные паттерны проявляются в релаксации возмущения максимального устойчивого состояния в модели песочной кучи на определенном графике, если на таком графике есть понятие линейной функции и верны обе леммы, приведенные выше. Для выполнения «масштабирования» необходим график, который самоподобен в разных масштабах, например ℤ ² .Естественным кандидатом является граф Кэли группы.

Напомним, что для группы G и набора S ее образующих можно построить так называемый граф Кэли G , вершинами которого являются элементы G и две вершины u, v ∈ G соединены ребром, если u ⁻¹ v или v ⁻¹ u принадлежит S . Если G = ℤ ² , S = {(1, 0), (0, 1)}, то граф Кэли является стандартной сеткой ℤ ² со всеми вершинами валентности четыре.Если G = ℤ ² , S = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}, то граф Кэли равен ℤ ² и каждая вершина ( i, j ) соединяется ребрами с ( i ± 1, j ), ( i, j ± 1), ( i + 1, j + 1), ( i — 1, j — 1).

На графе Кэли генераторы группы играют роль координат [по модулю соотношений, как (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) в приведенном выше примере], поэтому понятие линейной функции легко расширяется.Теория дискретных гармонических функций достаточно развита для нескольких классов групп [43–46].

Вопрос . Верны ли леммы 1,2 для гармонических и супергармонических функций на графах Кэли аменабельных групп? Если да, то при правильно выбранной процедуре масштабирования можно доказать сходимость множеств отклонений релаксации слегка возмущенных максимальных устойчивых состояний (на большой ограниченной многоугольной части графа Кэли) к углу геометрическое место кусочно-линейной функции на пределе масштабирования этих многоугольных частей графиков Кэли.Прежде всего нужно доказать, что функция опрокидывания имеет кусочно-линейную оценку сверху.

Графы Кэли абелевых групп состоят из ℤ ^k и цилиндров, как на рис. 3. Простейшей неабелевой группой, которая не сильно отличается от ℤ ³ , является группа Гейзенберга.

Вопрос . Есть ли какие-либо закономерности в куче песка для графика Кэли группы Гейзенберга H ?

Два генератора H _1,0,0 , H _0,1,0 группы коммутируют; граф Кэли H поэтому выглядит как набор стандартных решеток ℤ ² с дополнительными ребрами, соответствующими третьему генератору H _0,0,1 . Рассмотрим пересечение этого графа Кэли с большим кубом, например, пусть Γ = { H _{a, b, c} | 0 ≤ a, b, c ≤ 100}. Тогда все вершины v ∈ Γ имеют валентность шесть, так как они связаны с v · H _{± 1,0,0} , v · H _{0, ± 1,0} , v · H _{0,0, ± 1} , и все вершины ℤ ³ за пределами Γ считаются стоками.

Рассмотрим максимальное стабильное состояние (т.е. 5 зерен в каждой вершине) и добавим одно зерно к нескольким вершинам. Ожидается, что релаксация такого состояния на Γ не должна быть очень сложным «продолжением» релаксации возмущения максимальной устойчивой кучи песка на доменах в ℤ ² .

4. Тропические изгибы

Тропический многочлен является кусочно-линейной функцией f : ℝ ² → ℝ вида

, где A — конечное подмножество ℤ ² и a _ij ∈ ℝ — коэффициенты.Каждый член ix + jy + a _ij называется мономом и должен рассматриваться как log (taijxiyj), f следует рассматривать как предел определенного логарифмического масштабирования

Каждому тропическому многочлену f соответствует тропическая кривая C ( f ), которая по определению является угловым геометрическим вектором f , т. Е. Набором точек ( x, y ), где f не гладкая.Эквивалентное определение следует.

Определение 3 . C ( f ) = {( x, y ) ∈ ℝ | минимум среди ix + jy + a _ij достигается минимум дважды}.

Подробнее об алгебро-геометрических аспектах тропических кривых можно найти в Brugallé et al. [47], Итенберг и Михалкин [48], Маклаган и Штурмфельс [49], а также недавние приложения в симплектической топологии [50–53]. В этой схеме тропические кривые следует рассматривать как римановы поверхности, и каждая вершина A тропической кривой соответствует небольшой поверхности S _A с границей, валентность A равна количеству граничных компонентов S _A , и каждый край AB тропической кривой соответствует очень длинному тонкому цилиндру, соединяющему небольшие поверхности S _A и S _Б .К сожалению, мы не обнаружили связи между тропическими кривыми в кучах песка и тропическими кривыми в алгебраической или симплектической геометрии.

4.1. Тропическая серия

Выберем выпуклый компакт Ω ⊂ ℝ ² с непустой внутренней частью. Пусть P — конечное подмножество Ω.

Определение 4 . Калинин и Школьников [35] Ω-тропический ряд — это кусочно-линейная функция в Ω, заданная следующим образом:

, где множество A не обязательно конечно, и F | _∂Ω = 0.См. Пример на рисунке 5.

Рисунок 5 . Ω-тропический ряд и соответствующая Ω-тропическая кривая.

Рассмотрим семейство FP из Ω-тропических рядов, которые не являются гладкими в каждой точке P .

Обратите внимание, что все функции в FP вогнутые и, следовательно, супергармонические. Пусть F _P будет поточечным минимумом функций в FP. В Калинине и Школьникове [35] доказано, что этот поточечный минимум существует (что легко) и принадлежит FP (немного сложнее, потому что он может быть не непрерывным или не тропическим рядом).

Для каждого F∈FP можно рассмотреть множество

Легко видеть, что C ( F ) — угловое геометрическое место функции F , то есть именно те точки, где F не является линейным, а меняет свой наклон. Набор C ( F ) называется Ω-тропической кривой, определенной F , а C ( F ) — это плоский граф с прямыми краями рациональных направлений, сумма направлений исходящих ребер. равен нулю для каждой вершины, и это называется условием балансировки .

Теорема 2 . (уточнение) Последовательность наборов C _N ⊂ Ω сходится (в смысле Хаусдорфа) к Ω-тропической кривой C ( F _P ).

Пусть Ω будет диском { x ² + y ² ≤ 1}. Примером Ω-тропического ряда является min {ix + jy + aij | (i, j) ∈ℤ2}, где | aij | = i2 + j2, представлен слева на рисунке 5, а соответствующая ему Ω-тропическая кривая, которое представляет собой бесконечно ветвящееся дерево, представлено справа.См. Подробности у Калинина и Школьникова [54].

Вопрос . Сумма значений указанного выше Ω-тропического ряда для окружности (или другой плоской кривой) дает интересные формулы в теории чисел [54], которые связаны с дзета-функциями Морделла-Торнхейма и Виттена [55, 56]. Эти формулы принимают на входе коэффициенты уравнений касательных линий к данной плоской кривой, поэтому их легко вычислить, и они могут вызвать интересные вопросы в экспериментальной компьютерной математике.Однако аналоги этих формул для трехмерных тел неизвестны.

5. Функция опрокидывания

Чтобы понять появление тропической геометрии в кучах песка, рассмотрим функцию опрокидывания H ( v ), определенную для каждого v в Γ _N следующим образом: задано начальное состояние φ на Γ и его релаксации φ °, значение H ( v ) равно количеству раз, когда вершина v опрокидывалась в процессе преобразования φ в φ °.

Очевидно, что функция опрокидывания неотрицательна на Γ и обращается в нуль на границе Γ. Лапласиан Δ H из H полностью определяет конечное состояние φ ° по формуле [22]:

По индукции можно показать, что функция опрокидывания H удовлетворяет принципу наименьшего действия [57, 58]: если φ ( v ) + Δ F ( v ) ≤ 3 стабильно, то F ( v ) ≥ H ( v ).Остойич заметил, что H ( i, j ) является кусочно-квадратичной функцией, если мы бросим много песка в начало координат пустой плоскости [22].

5.1. Кусочная линейность функции опрокидывания в нашей основной задаче

Рассмотрим состояние φ _P , которое состоит из трех песчинок в каждой вершине, за исключением конечного семейства точек P = { p ₁ ,…, p _r }, где у нас четыре песчинки:

Состояние φ ° и эволюция релаксации могут быть описаны с помощью тропической геометрии. Это было обнаружено в Caracciolo et al. [29]. Ключевое (экспериментальное) наблюдение состоит в том, что функция опрокидывания H состояния φ почти везде гармонична, поскольку φ ° = φ почти везде (см. Рисунок 1). Более того, в этом случае функция опрокидывания H является кусочно-линейной на большей части Ω, а линейные узоры принадлежат конечной окрестности углового геометрического места H (в следующем разделе мы даем более подробное заявление).Это легко наблюдать, но сложно доказать.

Мы предоставляем верхнюю границу H _u и нижнюю границу H _l для H , которые близки к H . Эти жесткие рамки вынуждают набор

, чтобы принадлежать небольшому району набора

Верхняя граница H _u является кусочно-линейной функцией, φ равен 3 везде, кроме небольшого набора P точек, лапласиан функции равен нулю на областях ее линейности.Таким образом, множество Δ H _u ( v ) ≠ 0 (угловое геометрическое место кусочно-линейной функции) близко к набору Δ H ≠ 0, геометрическому значению отклонения φ °. Это завершает доказательство теоремы.

5.2. Верхняя граница для функции опрокидывания

Обозначим H (φ _N ) функцию опрокидывания состояния φ _N = 〈3〉 + ∑δ _{p i} на Γ _N .Злоупотребляя обозначениями, мы будем писать H (x, y) = 1NH (φN) (x, y): Ω → ℝ для измененной функции опрокидывания без указания N . Рассмотрим поточечную минимальную функцию F _P в FP. Тогда F _P ≥ H (φ _N ) по принципу наименьшего действия (поскольку Δ F _P ≤ 0, Δ F _P ( p _i ) <0 для каждого i ).Таким образом, F _P ≥ H .

Следствие . Суммарный дефект ∑v∈ΓN (3-φ ° (v)) линейно растет в N .

Действительно, общий дефект равен количеству песка, выпавшего за пределы системы, который, в свою очередь, равен сумме H (φ _N ) вблизи границы, которую можно оценить как N · ∫∂Ω1 / NNFP, т. е. N , умноженное на интеграл F _P по 1/ N -окрестности границы Ω.

Чтобы изучить зависимость набора отклонений {φ ° ≠ 3} от Ω и P (положения точек, куда мы добавляли зерна), можно изучить F _P , поскольку он определяет тропическую кривую . Зависимость F _P от P ни в коем случае не является непрерывной: когда P проходит через вырожденные конфигурации (например, несколько точек на вертикальной линии), F _P и соответствующие тропические кривые резко меняются.Аналогичное явление возникает, когда мы оставляем P фиксированным и меняем Ω: никаких значимых результатов о стабильности результирующего изображения не известно.

6. Нижняя граница. Волновые операторы

Пусть φ — куча песка на графе Γ. Для фиксированной вершины p ∈ Γ мы определяем волновой оператор W _p , действующий на состояние песчаной кучи φ следующим образом:

, где T _p — оператор, который сбрасывает один раз состояние φ на p , если это возможно ([59–61]) (см. Рисунок 6).В компьютерном моделировании применение этого оператора выглядит как одна волна опрокидывания, распространяющаяся от до , при этом каждая вершина опрокидывается не более одного раза.

Рисунок 6 . Для данного состояния песчаной кучи мы несколько раз применяем волновой оператор в синей точке p . Можно видеть, что линейный узор вокруг точки p плавно приближается к точке p , пока не окажется на одной из них. Напомним, что белые клетки содержат 3 зерна, поэтому набор отклонений — это зеленые, желтые и красные клетки, которые принадлежат небольшой окрестности определенной тропической кривой.Представим эту тропическую кривую как угловое геометрическое место поточечного минимума нескольких линейных функций (см. Рисунок 5), то есть как Ω-тропический ряд F . Плоский граф тогда является проекцией ребер трехмерного многогранника (граф F ). Тогда действие волнового оператора соответствует сдвигу одной из граней этого многогранника, т.е. увеличению на единицу постоянного коэффициента линейной функции, определяющей эту грань. На уровне планарных графиков мы берем линейную функцию в F (см. Уравнение 1), которая является минимальной при p , и увеличиваем ее постоянный коэффициент до тех пор, пока p не попадет в угловое геометрическое место нового кусочно-линейного функция.

Первое важное свойство W _p состоит в том, что для начального состояния φ: = 〈3〉 + δ _P мы можем достичь конечного состояния φ ° путем последовательного применения оператора W _{p 1} ° ⋯ ° W _{p r} большое, но конечное количество раз (мы пишем ∞ несмотря на обозначения):

Это не глубокая теорема, а довольно полезное описание релаксации.Таким образом, мы разложим полную релаксацию φ ↦ φ ° на слои контролируемого схода лавины

Эти слои, в свою очередь, можно описать с помощью тропической геометрии. Нам нужно только доказать, что линейные узоры, видимые на картинках, движутся к точке, где мы применяем волновой оператор.

6.1. Построение солитонов

Для каждого направления ( p, q ) ∈ ℤ ² , gcd ( p, q ) = 1 построим функцию F _{p, q} , лапласиан которой совпадает с линейным узором по направлению ( р, q ).Для этого рассмотрим функцию

Обратите внимание, что угловое геометрическое место l (множество точек в ℝ ² , где min (0, qx — py ) не является гладким) F ~ является линией направления ( p, q ). Затем рассмотрим все целочисленные супергармонические функции на ℤ ² , которые совпадают с F ~ вне конечной окрестности l . Нетривиальным фактом является то, что среди этого семейства функций существует поточечный минимум F _{p, q} [34].

Идея доказательства такова: вместо того, чтобы сразу брать поточечный минимум, мы сначала доказываем, что его можно достичь «сглаживанием», а именно последовательностью шагов F ~ = F0 → F1 → F2 →…; на каждом шаге F _k → F _{k +1} мы вычитаем характеристическую функцию некоторого множества в конечной окрестности l (таким образом, своего рода обратный оператор к волне оператор) и 0 ≤ F _k — F _{k +1} ≤ 1.Затем, поскольку F ~ периодичен, мы можем факторизовать плоскость под действием вектора ( p, q ) и свести задачу к цилиндру.

Затем мы используем леммы о супергармонических функциях: если бы можно было выполнять сглаживания бесконечное число раз, то из леммы 1 следовало бы, что F _k линейно с целым наклоном в компактной окрестности l , следовательно, существует линейная функция с целым наклоном, меньшим F ~ только в конечной окрестности углового множества.Эта функция будет периодической по отношению к сдвигу на ( p, q ) и, следовательно, будет иметь вид k ( qx — py ) + c (поскольку gcd ( p, q ) ) = 1), но любая такая функция (с целым числом k ) меньше F ~ вне конечной окрестности l , противоречие. Тогда мы не сможем выполнять сглаживания бесконечное количество раз, и поэтому в вышеупомянутом семействе имеется поточечный минимум.

После того, как доказано, что поточечный минимум существует, мы можем определять солитоны.

Определение 4 . Солитон [линейный узор в направлении ( p, q )] равен φ _pq = 〈3〉 + Δ F _{p, q} .

Тогда из принципа наименьшего действия и минимальности F _{p, q} легко следует, что отправка волны с одной стороны набора отклонений φ _pq переводит его [i.т.е. для некоторых p ′, q ′ мы имеем Wxφpq (i, j) = φpq (i + p ′, j + q ′) для всех ( i, j )], в противном случае не изменится. Поэтому мы называем их солитонами.

То же самое можно сделать для трех солитонов направления ( p ₁ , q ₁ ), ( p ₂ , q ₂ ), ( p ₃ , q ₃ ), встречающиеся в точке, при условии, что ∑ p _i = ∑ q _i = 0 и треугольник ( p ₁ , q ₁ ), ( p ₂ , q ₂ ), ( p ₃ , q ₃ ) не содержит точек решетки, кроме вершин.Идеи доказательства те же, мы используем лемму 2, и последний шаг состоит в том, что если линейная функция px + qy меньше min ( p ₁ y — q ₁ x, p ₂ y — q ₂ x, p ₃ y — q ₃ x ) только в компактном окружении вершины последняя функция, то ( p, q ) ∈ ℤ ² должны принадлежать треугольнику ( p ₁ , — q ₁ ), ( p ₂ , — q ₂ ), ( p ₃ , — q ₃ ), что является противоречием.

Резюмируем результаты следующим образом: существуют некоторые функции f _{p, q ,…} («на бесконечности» описываются кусочными функциями, т. Е. Тропическими функциями), поточечно минимальные в специальных семействах супергармонических функций, такие, что 〈3〉 + Δ f _{p, q ,…} моделируют солитоны и три или четыре солитона, приходящие в точку.

Важнейшим свойством волнового оператора W _p является то, что его действие на состояние φ = 〈3〉 + Δ f _{p, q ,…} имеет интерпретацию в терминах тропической геометрии. ; см. следующий раздел.

6.2. Операторы тропических волн и нижняя граница

Всякий раз, когда «на бесконечности» f является кусочно-линейной функцией с интегральными наклонами, которая в окрестности p выражается как a _{i 0 j 0} + i ₀ x + j ₀ y , затем

, где W ( f ), другая кусочно-линейная функция «на бесконечности», имеет те же коэффициенты a _ij , что и f , за исключением одного, а именно ai0j0 ′ = ai0j0 + 1.Это имитирует тот факт, что опора волны (набор вершин, которые опрокинулись во время волны) — это именно та часть плоскости, где a _{i 0 j 0} + i ₀ x + j ₀ y является ведущей частью f .

Рассмотрим Ω-тропическую серию f . Мы будем писать Gp: = Wp∞ для обозначения оператора, который «применяет W _p к 〈3〉 + Δ f до тех пор, пока p не окажется в угловом геометрическом месте f »; я.е., G _p увеличивает коэффициент a _ij , соответствующий окрестности p , подняв плоскость, лежащую выше p на графике f на интеграл шаги до p принадлежит угловому геометрическому месту G _p f . Таким образом, G _p имеет эффект смещения тропической кривой ближе к p до тех пор, пока она не будет содержать p (см. Рисунок 6).

Из свойств волновых операторов сразу следует, что (напомним, что F _P — верхняя граница):

где 0 — функция, тождественно равная нулю на Ω.

Теперь мы готовы дать оценку снизу в основной теореме.

Обратите внимание, что верхняя оценка может быть получена (возможно, бесконечной) последовательностью применения операторов тропических волн (которые представляют собой не что иное, как повторяющееся увеличение коэффициентов на линейных частях в кусочно-линейной функции).Затем по свойствам солитонов это можно смоделировать в модели песчаной кучи, где волновые операторы выполняются на уровне песчаной кучи, а вместо кусочно-линейных функций у нас есть изображения, как на рис. 6.

Другими словами, мы выбираем аппроксимацию F _P конечным составом G _{p 1} G _{p 2} … операторов тропических волн, Затем мы выбираем достаточно большой N , прежде чем начинать с состояния на Γ _N с тропической серией и набором солитонов, представляющих соответствующую Ω-тропическую кривую.Затем мы выполняем операторы песчаных волн W _{p 1} W _{p 2} … в соответствии с предписаниями операторов тропических волн (см. Рисунок 6). Поскольку N достаточно большой, мы полностью контролируем изображение и знаем, что солитоны движутся точно так же, как края тропической кривой на тропических изображениях. По характеру конструкции это даст нам нижнюю оценку релаксации φ (построенную с помощью волнового разложения), которая близка к верхней оценке (заданной Ω-тропическим рядом) с любой заданной точностью.Набор отклонений φN °, следовательно, сходится к Ω-тропической кривой, определяемой F _P .

7. Обсуждение

Мы рассмотрели несколько математических инструментов, которые использовались для конкретной задачи о песчаных отвалах на участке № ² . Эти инструменты можно обобщить по нескольким направлениям. Можно рассматривать кучи песка на других графах, например, части графов Кэли для аменабельных групп. Кроме того, можно взять часть гиперболической мозаики [62] или другой мозаики плоскости [63] и задать аналогичные вопросы о шаблонах и процедурах масштабирования.

Похоже, что единственный инструмент для явного описания картины идентичности песчаной кучи — это вычисление функции опрокидывания с высокой точностью и контролируемой ошибкой. Выше мы объяснили, что процедура «сглаживания» позволяет нам показать, что существует поточечно минимальная функция в определенных классах супергармонических функций, и тогда могут быть применены определенные методы локализации (тропическая геометрия) на основе свойств гармонических или почти гармонических функций. на больших областях с явной линейной верхней границей.

Тропические серии для плоских доменов связаны с определенными дзета-функциями. Было бы неплохо (по крайней мере, экспериментально) вычислить ряды, подобные Калинину и Школьникову [54], для более высоких размерностей с хорошей точностью и угадать, какие числа (например, многочлены от π, если мы начнем с круглой сферы) будет получено.

Было бы интересно найти другое разложение релаксации на волны большей величины, т.е. такое разложение позволит нам управлять изменением не только линейной формы, но и квадратичных пятен.

Подобно Садху и Дхару [32], было бы неплохо провести такое же исследование и, в частности, установить свойства непрерывности для функций опрокидывания кучи песка на графах Кэли и посмотреть, можно ли получить из этого своего рода условия балансировки. .

Заявление о доступности данных

Оригинальные материалы, представленные в исследовании, включены в статью, дальнейшие запросы можно направить автору, отвечающему за переписку.

Авторские взносы

Автор подтверждает, что является единственным соавтором этой работы, и одобрил ее к публикации.

Конфликт интересов

Автор заявляет, что исследование проводилось в отсутствие каких-либо коммерческих или финансовых отношений, которые могут быть истолкованы как потенциальный конфликт интересов.

Благодарности

НК частично поддержан Премией молодых математиков России. Была выражена благодарность за поддержку программы фундаментальных исследований Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

Список литературы

1.Томпсон DW. О росте и форме . Кембридж: Издательство Кембриджского университета (1942).

Google Scholar

2. Тьюринг AM. Химические основы морфогенеза. Философия Trans R Soc Lond B Biol Sci . (1952) 237: 37–72. DOI: 10.1098 / rstb.1952.0012

CrossRef Полный текст | Google Scholar

3. Белоусов Б.П. Периодически действующая реакция и ее механизм. В кн .: Сборник рефератов по радиационной медицине, 1958 [Сборник рефератов по радиационной медицине, 1958] .Москва: Медгиз (1959). п. 145–7.

Google Scholar

4. Киприянов К.С. Хаос и красота в стакане: ранняя история реакции Белоусова-Жаботинского. Энн Физика . (2016) 528: 233–7. DOI: 10.1002 / andp.201600025

CrossRef Полный текст | Google Scholar

5. Болл П. Формирование закономерностей и создание волн от биологии к геологии: комментарий к Тьюрингу (1952) «химическая основа морфогенеза». Философия Trans R Soc B Biol Sci .(2015) 370: 20140218. DOI: 10.1098 / rstb.2014.0218

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

7. Cross MC, Hohenberg PC. Формирование паттерна вне равновесия. Ред. Мод. Phys . (1993) 65: 851. DOI: 10.1103 / RevModPhys.65.851

CrossRef Полный текст | Google Scholar

8. Кох А., Мейнхардт Х. Формирование биологической структуры: от основных механизмов к сложным структурам. Ред. Мод. Phys . (1994) 66: 1481. DOI: 10.1103 / RevModPhys.66.1481

CrossRef Полный текст | Google Scholar

9. Фон Нейман Дж. Общая и логическая теория автоматов. В: Джеффресс Л.А., редактор. Церебральные механизмы в поведении; Симпозиум Хиксона . Уайли (1951). п. 1–41.

Google Scholar

10. Улам С. Случайные процессы и преобразования. В: Труды Международного конгресса по математике . Кембридж: Citeseer (1952). п. 264–75.

Google Scholar

14.Schelling TC. Микродвижения и макробиологические свойства . WW Norton & Company (2006). п. 252.

Google Scholar

16. Фаулер Д.Р., Мейнхардт Х., Прусинкевич П. Моделирование морских ракушек. Вычислительный график ACM SIGGRAPH. (1992) 26: 379–87. DOI: 10.1145 / 142920.134096

CrossRef Полный текст | Google Scholar

17. Манукян Л., Монтандон С.А., Фофонька А., Смирнов С., Милинкович М.С. Живой мезоскопический клеточный автомат из кожных чешуек. Природа .(2017) 544: 173–9. DOI: 10.1038 / nature22031

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

22. Остойч С. Узоры, образованные добавлением зерен только в один участок абелевой кучи. Физика А . (2003) 318: 187–99. DOI: 10.1016 / S0378-4371 (02) 01426-7

CrossRef Полный текст | Google Scholar

23. Пегден В., Смарт СК. Схождение абелевой кучи. Герцог Математика J . (2013) 162: 627–42. DOI: 10.1215 / 00127094-2079677

CrossRef Полный текст | Google Scholar

24.Пегден В, Смарт СК. Устойчивость узоров в абелевой куче. Энн Анри Пуанк . (2020) 21: 1383–99. DOI: 10.1007 / s00023-020-00898-1

CrossRef Полный текст | Google Scholar

25. Левин Л., Пегден В., Смарт СК. Аполлоническая структура в абелевой куче. Геом Функциональный Анал . (2016) 26: 306–36. DOI: 10.1007 / s00039-016-0358-7

CrossRef Полный текст | Google Scholar

26. Левин Л., Пегден В., Смарт СК. Аполлоновская структура целочисленных супергармонических матриц. Энн Математика . (2017) 186: 1–67. DOI: 10.4007 / анналы.2017.186.1.1

CrossRef Полный текст | Google Scholar

28. Дхар Д., Садху Т. Модель песочной кучи для пропорционального роста. Дж. Стат. Мех. Теория, опыт . (2013) 2013: P11006. DOI: 10.1088 / 1742-5468 / 2013/11 / P11006

CrossRef Полный текст | Google Scholar

29. Караччоло С., Паолетти Дж., Спортиелло А. Законы сохранения струн в модели абелевой песчаной насыпи. Europhys Lett .(2010) 90: 60003. DOI: 10.1209 / 0295-5075 / 90/60003

CrossRef Полный текст | Google Scholar

30. Караччоло С., Паолетти Дж., Спортиелло А. Детерминированная абелева песочная куча и мозаики квадратно-треугольного типа. В кн .: Комбинаторные методы в топологии и алгебре . Чам: Издательство Springer International (2015). п. 127–36. DOI: 10.1007 / 978-3-319-20155-9_23

CrossRef Полный текст | Google Scholar

31. Паолетти Г. Детерминированные абелевы модели и образцы песчаных куч (Тезисы Спрингера), Спрингер, Чам, Швейцария (2014).

Google Scholar

33. Калинин Н., Школьников М. Тропические изгибы в кучах песка. Вычислительная система вычислений по математике . (2016) 354: 125–30. DOI: 10.1016 / j.crma.2015.11.003

CrossRef Полный текст | Google Scholar

34. Калинин Н., Школьников М. Солитоны песчаных куч через сглаживание супергармонических функций. (2017) arXiv [Препринт] .arXiv: 1711.04285 . DOI: 10.1007 / s00220-020-03828-8

CrossRef Полный текст | Google Scholar

35.Калинин Н., Школьников М. Введение в тропические ряды и волновую динамику на них. Дискретный Contin Dyn Syst A . (2018) 38: 2843–65. DOI: 10.3934 / dcds.2018120

CrossRef Полный текст | Google Scholar

36. Калинин Н., Гусман-Саенс А., Прието Ю., Школьников М., Калинина В., Луперсио Э. Самоорганизованная критичность и возникновение закономерностей через призму тропической геометрии. Proc Natl Acad Sci USA . (2018) 115: E8135–42. DOI: 10.1073 / pnas.1805847115

PubMed Аннотация | CrossRef Полный текст | Google Scholar

37.Калинин Н., Прието Ю. Статистика для модели тропической кучи. (2015) arXiv [Препринт] .arXiv: 1906.02802 .

Google Scholar

40. Мельчионна А. Элемент идентичности куча на эллипсе. (2020) arXiv [Предварительная версия] .arXiv: 2007.0579 .

Google Scholar

41. Lyons R, Peres Y. Вероятность на деревьях и сетях , Vol. 42. Кембридж: Издательство Кембриджского университета (2017).

Google Scholar

42.Буховский Л., Логунов А., Малинникова Е., Содин М. Дискретная гармоническая функция, ограниченная на большой части z ² , постоянна. (2017) arXiv [Препринт] .arXiv: 1712.07902 .

Google Scholar

43. Хуа Б., Йост Дж, Ли-Йост X. Гармонические функции полиномиального роста на конечно порожденных абелевых группах. Энн Глоб Анал Геом . (2013) 44: 417–32. DOI: 10.1007 / s10455-013-9374-0

CrossRef Полный текст | Google Scholar

44.Мейерович Т., Перл И., Тоинтон М., Ядин А. Полиномы и гармонические функции на дискретных группах. Trans Am Math Soc . (2017) 369: 2205–29. DOI: 10.1090 / tran / 7050

CrossRef Полный текст | Google Scholar

45. Мейерович Т., Ядин А. Гармонические функции линейного роста на разрешимых группах. Израиль Дж. Математика . (2016) 216: 149–80. DOI: 10.1007 / s11856-016-1406-6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

46. Бенджамини И., Думинил-Копен Х., Козьма Г., Ядин А.Гармонические функции минимального роста на группах фонарщиков. (2016) arXiv [Препринт] .arXiv: 1607.00753 .

Google Scholar

47. Брюгалле Э., Итенберг И., Михалкин Г., Шоу К. Краткое введение в тропическую геометрию. В: Proceedings of the Gökova Geometry-Topology Conference (GGT) , Gökova (2015). п. 1–75.

Google Scholar

48. Итенберг И., Михалкин Г. Геометрия в тропическом пределе. Математический семестр . (2012) 59: 57–73.DOI: 10.1007 / s00591-011-0097-7

CrossRef Полный текст | Google Scholar

49. Маклаган Д., Штурмфельс Б. Введение в тропическую геометрию, Аспирантура по математике , Vol. 161. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество (2015).

Google Scholar

51. Шеридан Н., Смит И. Лагранжевы кобордизмы и тропические кривые. (2018) arXiv. [Препринт] .arXiv: 1805.07924 .

Google Scholar

52. Михалкин Г.Примеры тропически-лагранжевого соответствия. евро Дж Математика . (2018) 5: 1033–66. DOI: 10.1007 / s40879-019-00319-6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

53. Хикс Дж. Тропические лагранжианы и гомологическая зеркальная симметрия. (2019) arXiv [Препринт] .arXiv: 1904.06005 .

Google Scholar

54. Калинин Н., Школьников М. Тропические формулы для суммирования по части SL (2; ℤ). евро Дж Математика . (2019) 5: 909–28.DOI: 10.1007 / s40879-018-0218-0

CrossRef Полный текст | Google Scholar

55. Мацумото К. Об аналитическом продолжении различных кратных дзета-функций. В: Surveys in Number Theory: Papers from Millennium Conference on Number Theory . А.К. Петерс; CRC Press (2002). п. 169.

Google Scholar

56. Ромик Д. О количестве n-мерных представлений Su (3), числах Бернулли и дзета-функции Виттена. (2015) arXiv [Препринт].arXiv: 1503.03776 .

Google Scholar

57. Фей А., Левин Л., Перес Ю. Темпы роста и взрывы в отвалах. Дж. Стат. Физ. . (2010) 138: 143–59. DOI: 10.1007 / s10955-009-9899-6

CrossRef Полный текст | Google Scholar

58. Садху Т., Дхар Д. Влияние шума на узоры, образованные растущими кучками песка. Дж. Стат. Мех. Теория, опыт . (2011) 2011: P03001. DOI: 10.1088 / 1742-5468 / 2011/03 / P03001

CrossRef Полный текст | Google Scholar

59.Ивашкевич Е.В., Ктитарев Д.В., Приезжев В.Б. Волны опрокидывания в абелевой куче. Физика А . (1994) 209: 347–60. DOI: 10.1016 / 0378-4371 (94)

-0

CrossRef Полный текст | Google Scholar

62. Калинин Н., Школьников М. Насыпи на семиугольной черепице. Дж. Теория узлов Рамиф . (2016) 25: 1642005. DOI: 10.1142 / S0218216516420050

CrossRef Полный текст | Google Scholar

63. Ферсула Дж., Нос С., Перро К. Падение песчаной кучи на мозаики пенроуза: идентичность и изотропная динамика.(2020) arXiv [Препринт] .arXiv: 2006.06254 .

Google Scholar

Алгебраические и геометрические узоры — Уроки Wyzant

Автор Джефф С.

Понимание слов группа и шаблон поможет нам понять алгебраические и геометрические шаблоны
.

Группа — это ряд взаимосвязанных вещей, которые мы можем увидеть и потрогать. Они могут быть связаны
по любому количеству причин. Например, элементы могут быть в группе, потому что они
одного цвета или размера.

Важно помнить, что группы состоят из вещей, которые мы можем потрогать и увидеть. Например,
у нас не может быть группы «синие»; это не имеет смысла! Но мы можем поставить группу синих машин
вместе на стоянке.

Слово шаблон описывает групп вещей с характеристиками, которые повторяются предсказуемым
образом. Например, наш мозг использует шаблоны, чтобы помочь нам быстро разобраться в окружающем мире. Представьте, что вас шокирует каждый раз, когда вы видите зеленую траву перед домом в пригородном районе
! Наш мозг упрощает задачу, осознавая, что (почти) вся трава перед
загородными домами зеленая.

Паттерны также помогают нам быстро освоить новые навыки. Студенты, изучающие фортепиано, вскоре учатся распознавать узор
из белых и черных клавиш на клавиатуре. Форму клавиш
можно описать так: «белый, черный, белый, черный, белый, черный, белый, белый». Мы также можем сократить это число на
, используя буквы для обозначения каждого слова: W, B, W, B, W, B, W, W.

Другое слово для шаблона — это последовательность . Мы будем использовать оба слова, чтобы узнать об алгебраических и геометрических образцах
.

Алгебраические шаблоны

Алгебраические образцы — это числовые образцы с последовательностями, основанными на сложении или вычитании. Другими словами, мы можем использовать сложение или вычитание, чтобы предсказать следующие несколько чисел в шаблоне, если нам уже даны
, поскольку нам уже даны два или более числа. Давайте посмотрим на пример:

1, 2, 3, 5, 8, 13, ___, ___

Мы можем использовать сложение , чтобы вычислить следующие два числа в этом шаблоне. В этом примере 1 + 2 = 3 и 2 + 3 = 5.
Можно сказать, что правило для этого алгебраического шаблона: «сложите два предыдущих числа в шаблоне вместе, чтобы найти
следующее число».

Итак, мы складываем 8 + 13 и получаем 21. Затем складываем 13 + 21 и получаем 34. Наш законченный узор выглядит так:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34 .

Упражнение 1. Посмотрите на каждую числовую последовательность ниже. Используйте указанные числа, чтобы найти следующие
чисел в последовательностях.

Ответ: 12 и 28. Мы видим, что первые два числа увеличиваются на 4. Мы можем проверить результат работы
, добавив 4 к каждому из чисел в середине шаблона, чтобы увидеть, совпадают ли наши ответы
. Проблемы выглядят так:
16 + 4 = 20
20 + 4 = 24
Поскольку 20 и 24 соответствуют числам в середине нашего шаблона, мы знаем, что
нашли правильные ответы.

{12, 28 | 12,28 | 12 28 | 1228 | 12 и 28}

Ответ: 30 и 28. Это сложно! Мы знаем, что нам нужно будет вычесть, потому что
числа становятся меньше, когда мы читаем слева направо. Мы находим ответ, вычитая число слева от числа справа от
. Проблемы в
этой закономерности выглядят так:

47-43 = 4
43-40 = 3

40 — 38 = 2

38 — 37 = 1
37 — 33 = 4
Теперь мы знаем, что правило для этого шаблона — начать с вычитания первого числа
на четыре, следующего на три, третьего на два и последнего на 1.Поскольку мы
вычли последний набор чисел на 4, мы знаем, что нам нужно вычесть 3 и 2, чтобы
найти последние два числа в шаблоне. Задачи и ответы выглядят так:
33-3 = 30

30-2 = 28

{30, 28 | 30,28 | 30 28 | 3028 | 30 и 28}

Геометрические узоры

Геометрические узоры — это последовательности чисел с узорами, основанными на умножении и
делении. Другими словами, если мы знаем два или более чисел в шаблоне, мы можем использовать
либо умножение, либо деление, чтобы найти пропущенные числа.Вот пример:

128, 64, 32, ___, ___.

Мы знаем, что нам нужно будет использовать деление, потому что числа становятся меньше, когда мы читаем слева направо. Поскольку числа четные, мы начинаем с использования наименьшего четного числа (не считая
нуля), которое мы можем придумать — 2 — и делим на это число, чтобы увидеть, совпадают ли наши ответы с числами
в последовательности. Проблемы выглядят так:

128/2 = 64
64/2 = 32

Мы нашли свое правило! Делим на два, чтобы найти следующее число.Когда мы разделим 32 на 2, мы получим
16. Когда мы разделим 16 на 2, мы получим 8. Наш ответ будет выглядеть так:

128, 64, 32, 16 , 8 .

Что бы мы сделали, если бы наши ответы не совпадали? Мы попытаемся разделить на другое число — например,
3 или 4 — до тех пор, пока ответы не совпадут с числами в шаблоне.

Упражнение 2. Посмотрите на каждую числовую последовательность ниже. Используйте указанные числа, чтобы найти следующий номер
в последовательностях.

Ответ: 9. Мы знаем, что нам нужно будет умножить, чтобы найти ответ
, потому что числа становятся больше, когда мы читаем слева направо. Мы можем использовать алгебру, чтобы найти пропущенный номер
. Проблема выглядит так:
a * 27 = 81
Сначала мы делим обе стороны на 27, чтобы изолировать переменную. Проблема выглядит так:
^27a / ₂₇ = ⁸¹ / ₂₇

а = 3

Итак, мы знаем, что нам нужно умножить каждое число на 3, чтобы получить ответ.Наши таблицы умножения
говорят нам, что 9 x 3 = 27. Итак, ответ — 9.

{9 | девять}

Ответ: 1,875. Числа становятся меньше по мере того, как мы читаем
слева направо. Это говорит нам, что нам нужно будет разделить, чтобы найти правило для этого шаблона.
Поскольку первое число четное, мы начинаем с деления каждого числа на наименьшее четное число
, которое мы можем придумать (не считая нуля) — 2 — чтобы увидеть, сможем ли мы найти ответ.Проблема
выглядит так:

30/2 = 15
15/2 = 7,5
7,5 / 2 = 3,75

Мы нашли свое правило! Правило этого шаблона — «разделите каждое число на 2, чтобы найти
следующее число в последовательности». Чтобы найти ответ, разделим 3,75 на 2. Задача
выглядит так:
3,75 / 2 = 1,875
Итак, наш ответ — 1,875.

{1.875}

Упражнение 3. Посмотрите на группу чисел ниже. Используйте то, что вы узнали о шаблонах, чтобы
определить, является ли последовательность чисел алгебраическим или геометрическим шаблоном.Введите свой ответ
в поле ниже. Будь осторожен! Это непросто!

Ответ: 36 и геометрический. Числа увеличиваются по мере того, как мы читаем
слева направо. Это говорит нам, что мы собираемся использовать либо сложение, либо умножение, чтобы найти
правило для этого шаблона. Давайте сначала проверим сложение.

Мы можем вычесть известные нам числа в наборе, чтобы увидеть, сработает ли сложение.
Проблемы выглядят так:
216 — 72 = 144
432 — 216 = 216
1296 — 432 = 864

Поскольку не существует согласованных чисел или шаблонов чисел, которые мы можем добавить к
числам, которые мы уже видим в нашем наборе, мы переходим к умножению.

Мы можем поставить задачу по алгебре, чтобы найти ответ. Проблема выглядит так:
a72 = 216
Сначала разделите обе части на 72, чтобы изолировать переменную. Проблема выглядит так:
^72a / ₇₂ = ²¹⁶ / ₇₂

а = 3

Проверьте свою работу, умножив 72 на 3.Когда мы это сделаем, мы получим 216! Мы на правильном пути
! Убедимся, что 3 работают для всего набора.

Проверьте свою работу, умножив 216 на 3. Когда мы это сделаем, мы получим 648 ?? Ой ой. . .
3 не работает.

Задайте другую задачу по алгебре, чтобы найти оставшуюся часть шаблона. Задача
выглядит так:
a216 = 432
Сначала разделите обе стороны на 216, чтобы изолировать переменную. Проблема выглядит так:
^216a / ₂₁₆ = ⁴³² / ₂₁₆

а = 2

Проверьте свою работу, умножив 216 на 2.Когда мы это сделаем, мы получим 432! Мы нашли
шт! Правило выкройки «умножьте первое число на 3, а второе число на 2».

Проверьте свою работу, попробовав узор на последнем номере последовательности. Если
мы правы, мы сможем умножить 432 на 3 и получить последнее число. Когда мы делаем
, мы видим, что 432 x 3 = 1296!

Мы узнали, что алгебраические модели используют сложение и вычитание. Геометрические узоры
используют умножение и деление. Это означает, что этот узор геометрический.

{36, геометрический | геометрический, 36 | 36 геометрический | геометрический 36}

Симметрия и узор в проективной геометрии: 9781447146308: Лорд, Эрик: Книги

Из обзоров:

«Здесь читатели встречают кусочек геометрии, промежуточный между элементарной евклидовой и современной алгебраикой, где в первую очередь идут объекты, необычные, удивительные и интригующие. Встречая и буквально видя эти особые объекты, в частности линейные конфигурации и различные проективные разновидности низкой размерности и низкой степени, студенты могут — возможно, впервые — действительно испытать математику как феноменологическую науку.… Подведение итогов: Настоятельно рекомендуется. Студенты старших курсов через исследователей / преподавателей ». (D. V. Feldman, Choice, Vol. 51 (2), October, 2013)

«Рецензируемая книга представляет собой введение в проективную геометрию, а также некоторые предварительные результаты по алгебраической геометрии и конечной геометрии. … Это хорошо иллюстрированный, самостоятельный учебник по проективной геометрии. Оригинально представлены как основы, так и существенные факты. Книга предназначена для студентов, изучающих математику и информатику.»(Георгий Христов Георгиев,« Математические обзоры », сентябрь, 2013 г.)

Симметрия и паттерн в проективной геометрии — это автономное исследование проективной геометрии, в котором сравниваются и противопоставляются аналитические и аксиоматические методы.Аналитический подход основан на однородных координатах. Также представлены краткие введения в координаты Плюккера и координаты Грассмана.

Эта книга внимательно рассматривает линейные, квадратичные, кубические и четвертичные фигуры в двух, трех и более измерениях. В нем подробно рассматриваются расширения и следствия основных теорем, таких как теоремы Паппа и Дезарга. Основное внимание уделяется специальным конфигурациям, которые обладают особенно интересными свойствами симметрии.

Сложные и новые идеи Г. С. М. Кокстера, который считается одним из великих геометров двадцатого века, также обсуждаются на протяжении всего текста.Книга завершается полезным анализом конечных геометрий и описанием некоторых замечательных конфигураций, открытых Кокстером.

Эта книга понравится студентам-математикам и тем, кто хочет больше узнать о предмете геометрии. Предмет и теоремы, которые часто считаются довольно сложными, доступны и представлены в легкой для чтения и приятной форме.

Геометрия схемы движения

В 1986 году у ВВС было всего четыре Boeing 747, поэтому они заключили контракт на обучение с самым дешевым участником торгов с инструкциями по приведению пилота в соответствие со стандартами капитана авиакомпаний.Для меня это означало зачисление на курсы United Airlines Boeing 747 Captain’s Course с двадцатью капитанами United, месяц обучения на симуляторе, прохождение проверки авиакомпании на симуляторе и прохождение оценки FAA Airline Transport Rating на самолете. Все, что произошло, и тренировки были лучшими, через которые я когда-либо проходил. Управлять самолетом United Boeing 747 и вылетать из тех самых ворот, которые я использовал в качестве пассажира много раз в Сан-Франциско, было захватывающим, без сомнения. Но ничто из этого не подготовило меня к тому, что должно было вернуться в эскадрилье.

Авиакомпания решила схему посадки очень расслабленно, без сюрпризов, и каждый раз все выполнялось методично. Существовал ограниченный список аэропортов и пилотов, обученных для каждого аэропорта по имени, часто на симуляторе, прежде чем они были признаны способными использовать этот аэропорт в будущем. Об этом методе можно многое сказать.

Решение ВВС заключалось в том, чтобы втиснуть этот очень большой самолет в несколько очень маленьких взлетно-посадочных полос и переполненное воздушное пространство, сделать это в любом аэропорту без предварительного уведомления, без предварительной подготовки, связанной с конкретным аэропортом, и делать это каждый раз правильно с первого раза.Мне нужно было чему-то научиться.

Скорость была примерно такой же, как у Боинга 707, на котором я летал пять лет; на самом деле многие скорости были на самом деле ниже. Проблема была не в самолете, а в операции. Мы управляли большим самолетом в меньшем воздушном пространстве, и наши допуски были более жесткими. Опытные профессионалы подразделения научились приспосабливаться с опытом и навыками. Не имея и того, и другого, мне нужно было лучше понимать, что самолет может делать, прежде чем я смогу уговорить его следовать моим командам.

Все, что самолет делал по схеме, основывалось на эталонной скорости с полным закрылком, V _REF .В отличие от Boeing 707, здесь не было заданных скоростей схемы. Я полагаю, это было потому, что вес мог очень сильно варьироваться. Полная топливная нагрузка на наши 747-200 составляла 303 000 фунтов, а самолет обычно приземлялся всего с 25 000 фунтов. Сотня человек могла изменить вес еще на 20 000 фунтов. Сама эта вариация превышала полную массу Боинга 707. Я решил, что мне нужна диаграмма, которая учитывала бы два условия: одно для очень легких весов и одно для максимального посадочного веса, который составлял 630 000 фунтов.

V _REF для минимально возможной посадочной массы, как я знал из моей контрольной поездки United Airlines, составляет 109 узлов. Но это был Боинг 747-100, уменьшенная версия, рассчитанная на перевозку большого количества людей с пустыми местами на борту. Нашим самолетом был Боинг 747-200 с гораздо меньшим количеством кресел и большим количеством тяжелого электронного оборудования. Самый низкий V _REF , который я видел в схеме движения, составлял 120 узлов, хорошее число (2 морские мили в минуту).

Самый высокий V _REF , который я видел на регулярной основе, был бы для максимального посадочного веса.Это было примерно 150 узлов. Хотя это не четное число для расчета радиуса поворота (2-1 / 2 морских мили в минуту), это было неплохо.

Эти скорости, V _REF , были для закрылков 25 градусов, и самолет замедлялся на конечном этапе захода на посадку для посадки. Взлет обычно производился при 10 градусах закрылков и на более высокой скорости, разворот на ветер обычно производился при разгоне примерно до 200 узлов.

В отличие от доктрины, которую мы использовали в моих более ранних самолетах ВВС, модель Boeing 747 представляла собой сплошной овал без периодов поворота крыльев, чтобы проверить движение и перевести дух.Вычислить за овалом просто, в конце концов, это всего лишь половина круга 2πr, но получить радиус поворота для круга с непрерывно изменяющейся скоростью будет сложно.

Использование скорости закрылков 10 ° для начального поворота с взлетно-посадочной полосы по ветру означало, что радиус будет основан на V _REF + 20, что означает от 140 до 170 узлов, в зависимости от веса. Изменения в технике пилотирования могли увеличить дальность полета до 200 узлов к тому времени, когда самолет выкатился по ветру.

Как и в случае с Boeing 707, стандартная визуальная схема полета выполнялась на высоте 1500 футов над взлетно-посадочной полосой. Разворот к базе, «окунуться», как мы его называли в ВВС, происходил под углом 45 градусов к зоне приземления, а откат составлял 2 морских мили от точки приземления на высоте 600 футов.

Так цифры стали понятны.

Для облегченной выкройки:

Для тяжелого рисунка:

Как и ожидалось, схема была более жесткой, чем та, что мы летели на Боинге 707, и все произошло быстрее.Это подтверждалось анекдотично каждый раз, когда мы делились этой схемой с базами EC-135C, двоюродными братьями EC-135J на Гавайях. Наши шаблоны всегда были более жесткими.

Чего я не ожидал, так это увеличения вертикальной скорости легкого рисунка. Самолет движется по воздуху медленнее, но рисунок был настолько мал, что спускался с горы довольно быстро.

Упражнение по построению визуальной схемы было полезным и облегчило адаптацию к более быстрому темпу и различным процедурным этапам.Я составил схему для каждого варианта установки закрылков, четырех двигателей и трех двигателей и всех возможных вариантов захода на посадку по приборам.

Постскриптум

Тридцать лет спустя я продолжаю рисовать диаграммы каждого паттерна и варианта подхода. Я заметил, что редко обращаюсь к схемам после того, как они нарисованы, но практика создания подробных схем помогает закрепить процедуры в сером веществе. И это хорошо.

Оптимизация геометрии рисунка на супербифильных алюминиевых поверхностях для улучшения теплопередачи при кипении

Особенности

•

Супербифильные поверхности изготавливаются путем гидрофобизации CVD и лазерного текстурирования.

•

Исследовано влияние размера пятна, шага и масштаба на характеристики кипения.

•

Оптимальная доля супергидрофобных областей составляет прибл. 23%.

•

Шаг пятна оказывает большее влияние на характеристики кипения, чем диаметр пятна.

•

Коэффициент теплопередачи и коэффициент теплопередачи повышаются за счет супербифильных поверхностей.

Реферат

В этом исследовании оптимальная структура поверхности областей с низкой и высокой смачиваемостью для улучшения теплопередачи при кипении исследуется с использованием алюминиевых супербифильных поверхностей.Образцы изготавливаются путем комбинирования химического осаждения из паровой фазы фторированного силана, чтобы сделать их супергидрофобными, и наносекундного лазерного текстурирования, чтобы сделать выбранные области супергидрофильными. Используется треугольная решетчатая структура из супергидрофобных круглых пятен с диаметром пятна от 0,25 мм до 1,0 мм и величиной шага 0,5–2,5 мм. Эффективность теплопередачи супербифильных поверхностей при кипении в бассейне оценивается с использованием насыщенной воды при атмосферном давлении. Показано, что сильный контраст смачиваемости важен для обеспечения высокой теплоотдачи поверхностей с рисунком смачиваемости.Наивысшая эффективность теплопередачи достигается при использовании пятен диаметром 0,5 мм с шагом пятна 1 мм и соответствующей долей супергидрофобной площади прибл. 23%. Оптимальное значение шага обеспечит высокую плотность потенциально активных центров зародышеобразования, но все же позволит развиваться тепловому пограничному слою, таким образом не препятствуя активации соседних пятен. Размер (супер) гидрофобных пятен, по-видимому, не оказывает большого влияния на характеристики кипения при использовании оптимального шага пятна.Разработанные супербифильные поверхности увеличивают CHF и обеспечивают значительно улучшенные коэффициенты теплопередачи, особенно при средних и высоких тепловых потоках, что делает их особенно подходящими для применений с высоким тепловым потоком.

Ключевые слова

Кипение в бассейне

Критический тепловой поток

Бифильная поверхность

Функционализация поверхности

Улучшение теплопередачи

Обработка поверхности

Сокращения

Критический тепловой поток

0005 (также используется символ CLT)

0005 текстурированный образец

химическое осаждение из паровой фазы

гомогенно гидрофобный образец

(гептадекафтор-1,1,2,2-тетрагидродецил) триметоксисилан

начало пузырькового кипения

полиэфирэфиркетон

000 полиэфирэфиркетон

необработанный контрольный образец

растровый электронный микроскоп

гомогенно супергидрофобный образец

бифильный образец с диаметром пятна ХХ и шагом пятна YY

Рекомендуемые статьиЦитирующие статьи (0)

© 2020 Авторы.Опубликовано Elsevier Ltd.

Рекомендуемые статьи

Ссылки на статьи

Геометрический узор Кристины Гирланда

Если вам нравятся мои дизайны, подпишитесь на мою рассылку, чтобы не пропустить будущие вводные скидки и специальные предложения только для подписчиков.

Geometry — это немного причудливая вязка, в которой используется очень мало пряжи. Его можно быстро связать, и он представляет собой универсальное многослойное изделие. Вы можете накрыть его камзолом, сарафаном или чем угодно.Даются советы, как удлинить его, если укороченная длина не для вас. Благодаря модульной бесшовной конструкции ее можно легко сделать уже или шире, а также изменить окружность проймы в соответствии с вашими предпочтениями.

В этой конструкции указаны размеры. Размеры даны как в сантиметрах, так и в дюймах.

Материалы

Пряжа

Весовая пряжа DK вязать по ширине арана

Образец пряжи представляет собой драпированную шелковую ленточную пряжу с ощущением сухости.

Здесь показано: Laines du Nord Luxury Silk (100% шелк; 135 м / 148 ярдов, мяч 50 г / 1,76 унции; цвет # 11): 3 (4, 4, 5, 5) {6, 6, 7, 7 , 8} шары

Требуемая площадь:

405 (460, 515, 570, 630) {710, 785, 855, 945, 990} м / 445 (505, 565, 625, 695) {775, 860, 940, 1035, 1090} ярдов, включая 10% надбавка

Идеи замены пряжи:

Berroco Suede (100% нейлон; 110 м / 120 ярдов, мяч 50 г / 1,76 унции)

Lang Yarns Sol Dégradé (100% хлопок; 199 м / 218 ярдов, 100 г / 3.Мяч 53 унции)

Lang Yarns Lino (100% лен; 110 м / 120 ярдов, мяч 50 г / 1,76 унции)

Quince & Co. Kestrel (100% лен; 69 м, моток 50 г)

Иглы

круговые спицы 5,5 мм / US 9 длиной 120 см / 47 дюймов или более; при необходимости отрегулируйте размер иглы, чтобы получить калибр.

Понятия

игла для пряжи

Калибр

16,5 петель x 26 рядов = 10 см лицевой гладью с блокировкой.

15,5 пет x 26 рядов = 10 см в резинку 4×2, заблокировать.

Размеры
# размер, включая размер

Размеры 1 (2, 3, 4, 5) {6, 7, 8, 9, 10} для фактического размера груди 76 (86,5, 96,5, 106,5, 117) {127, 137, 147,5, 157,5, 167,5} см / 30 (34, 38, 42, 46) {50, 54, 58, 62, 66} дюймов

Готовая окружность груди: 98 (106,5, 115, 127, 134,5) {146, 158,5, 168,5, 179,5, 187} см / 38,75 (42,25, 45,25, 50, 53) {57,5, 62,25, 66,25, 70,75, 73.5} дюймы

Эту одежду можно носить с легкостью примерно 18–23 см / 7–9 дюймов.

Показан размер 1, смоделировано с положительной непринужденностью 20,5 см / 8 дюймов.

Требуемые навыки

Уменьшители, наложение длинного хвоста, собирающие стежки, трехигольная закрепка

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности. Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались. Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie. Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.